Biwakowanie na lodzie

Każda idea platońska rzuca tak wiele nieprzewidywalnych cieni, że pierwsza część powyższego motta zdaje się jak najbardziej usprawiedliwiona. Za to druga – to znacznie poważniejsza sprawa.

Chociaż w świecie idei (czyli Amberze) istnieje wszystko, co jest do pomyślenia – matematyczne istnienie wymaga czegoś więcej: zgodności ze Wzorcem. Oznacza to między innymi oczekiwanie, żeby żadne dwa sprzeczne ze sobą stwierdzenia nie były jednocześnie prawdziwe. Otóż gdyby tak się stało, to – zgodnie z regułami logiki – już dalej absolutnie wszystko musiałoby być prawdziwe, a matematycy pozostaliby bez pracy. Był nawet jeden taki potencjalny bezrobotny, który co jakiś czas ogłaszał, że odnalazł sprzeczność w matematyce, ale potem (aż do następnego razu) odwoływał.

Czy możemy zagwarantować, że matematyka nie jest sprzeczna? To zależy od tego, jaki jest nasz stosunek do idei nieskończoności. Kurt Gödel dowiódł (1931), że jeśli jakaś teoria zawiera to pojęcie, to nie można udowodnić jej niesprzeczności metodami samej matematyki*. Tym samym okazało się, że pole biwakowe, na którym od 25 wieków matematycy koczują w świecie Amberu, zostało założone na kruchym lodzie. Tuż obok za to, już na twardym gruncie, stoi namiocik z napisem Finityści. To ci odszczepieńcy, którzy sądzą, że nieskończoność nie istnieje. Uczciwie mówiąc – mają trochę racji. Po pierwsze, jako się rzekło poprzednim razem, prawdopodobnie idea ta nie rzuca żadnego cienia, przynajmniej w świecie Ziemi. Po drugie, w samej matematyce nie używa się z reguły (na przykład) wszystkich liczb na raz – zwykle wystarczy ich skończona ilość. Tak więc według finitystów istnieją tylko te liczby, których już zdążyliśmy użyć, a kolejne ewentualnie zostaną przez nas stworzone w przyszłości. Zawsze jednak będzie istnieć tylko skończona ich ilość jednocześnie.

O finitystycznej matematyce wiadomo, że jest niesprzeczna, większość turystów w świecie Amberu uważa jednak, że jest zbyt uboga, a życie na lodzie jest ciekawsze. A skoro ów dotąd nie trzasnął i wybicie przerębli jeszcze nikomu nie wyszło… Krótko mówiąc – przyjmujemy odważnie, że nieskończoność istnieje, otwierając w ten sposób puszkę Pandory. Nie może bowiem istnieć tylko jeden rodzaj nieskończoności, ale od razu całe ich mnóstwo. Dla przykładu mamy nieskończenie wiele liczb rzeczywistych, nie można ich jednak wszystkich ustawić w ciąg, tak jak liczby naturalne, a więc tych pierwszych jest „więcej” (continuum) niż tych drugich (alef zero). Słynna Hipoteza Continuum (Georg Cantor, 1878) głosiła, że pomiędzy tymi dwiema nieskończonymi wielkościami nie ma innych pośrednich, zanim okazało się (Paul Cohen, 1963), że nie można tego udowodnić – i tylko od naszej decyzji zależy, czy owe nieskończoności istnieją i jak wiele ich jest. Ale to dopiero początek paradoksów.


Andrzej Prószyński
* Znana nadinterpretacja tego twierdzenia głosi, że żaden dostatecznie skomplikowany system – np. ludzki mózg – nie może poznać sam siebie.

Informator GKF 2010