Nie zadzieraj z fryzjerem!

W pewnym miasteczku żyje fryzjer, który goli tych wszystkich, którzy nie golą się sami. Czy powinien golić sam siebie? (Paradoks golibrody)

Widać, że facet ma poważny kłopot, bo jeśli by się nie golił – to powinien się golić, i vice versa. A jeśli przypadkiem nazywa się Sweeney Todd, to nie denerwujmy go paradoksami, bo otrzymamy gościa zabijającego tych wszystkich, którzy nie są samobójcami. W obu wypadkach dylemat wynika z tego, że oceniający jest jednocześnie ocenianym, czego należy unikać (dlatego w GKF-ie mamy Komisję Rewizyjną).

Na gruncie matematyki odpowiednikiem obu paradoksów jest zbiór tych wszystkich zbiorów, które nie są swoimi własnymi elementami. Można zapytać, czy ten zbiór jest, czy też nie jest swoim własnym elementem – nie otrzymując żadnej sensownej odpowiedzi (paradoks Russella). Wniosek jest taki, że ów dziwny twór nie przeszedł testu zgodności z Wzorcem Amberu, a więc po prostu nie istnieje. Co też stanowi gwóźdź do trumny tzw. naiwnej teorii zbiorów, która beztrosko definiowała wszystko, co tylko da się pomyśleć, lawirując w pobliżu Dworców Chaosu. Objawem zmiany podejścia do zbiorów jest między innymi przestrzeganie ścisłej hierarchii: są elementy, potem zbiory tych elementów, potem rodziny – czyli zbiory zbiorów – i tak dalej. Podobnie w informatyce: mamy pliki, potem katalogi (foldery) plików, potem katalogi katalogów, itd. Wyklucza się przy tym paradoks Russella: żaden katalog nie może być swoim własnym elementem, chyba że w wyniku błędu komputera, co pewnie każdemu choć raz się przydarzyło.

Fundamentem współczesnej matematyki jest tak zwany aksjomat wyboru. Mówi on, że mając dowolną rodzinę zbiorów można wybrać po jednym elemencie z każdego z tych zbiorów, tworząc z nich nowy zbiór. Brzmi to dość niewinnie, ale pozory mylą. Wynika z niego na przykład twierdzenie Banacha i Tarskiego o paradoksalnym rozkładzie kuli – mówiące, że kulę można rozłożyć na pięć części, z których po odpowiednim przemieszczeniu można złożyć dwie kule identyczne z wyjściową*). Jak widać: mamy tu do czynienia z cudownym rozmnożeniem; na podstawie argumentacji nie można jednak wywnioskować, jak to konkretnie zrobić, bo jest to tak zwany czysty dowód istnienia.

Tego typu rozumowania kwestionują konstruktywiści, którzy uważają, że dowód istnienia jakiegoś obiektu musi zawierać jego precyzyjną konstrukcję. W świecie Amberu ci malkontenci rozbili swój namiot tuż obok finitystów, gdyż podobnie jak tamci są ignorowani przez większość – i to dokładnie z tych samych przyczyn (bo na lodzie jest fajniej). Tym niemniej ogół matematyków do pewnego stopnia przyznaje im rację, przedkładając konstruktywne dowody nad niekonstruktywne, nie rezygnując jednak przy tym z aksjomatu wyboru. Tak więc matematycy znów zostali na lodzie, ale mają za to jedną zabawkę więcej.


Andrzej Prószyński

*) Istnieją więc zbiory w przestrzeni, którym nie można w rozsądny sposób przypisać objętości (tzw. zbiory niemierzalne). Twierdzenie to stało się punktem wyjścia mojego opowiadania O szkodliwości pchania kuli, zamieszczonego niegdyś w Clapsie 22 (http://matematyka.ukw.edu.pl/~ap/teksty/Pchanie%20kuli.pdf).


Informator GFK

Zgłoś swój pomysł na artykuł

Więcej w tym dziale Zobacz wszystkie

Ważne: Użytkowanie Witryny oznacza zgodę na wykorzystywanie plików cookie. Szczegółowe informacje w Polityce prywatności.